home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter5.1p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  8.7 KB  |  343 lines
  1. à 5.1èReal Roots-Third Order, Lïear, Constant Coefficient
  2.     èè Differential Equation
  3. äèFïd ê general solution
  4.  
  5. â        y»»» - 6y»» + 11y» - 6y = 0
  6.     The characteristic equation
  7.         mÄ - 6mì + 11m - 6 = 0
  8.     Facërs ïëè (m - 1)(m - 2)(m - 3) = 0
  9.     The solutions areèm = 1, 2, 3
  10.     The general solution is
  11.         C¬e╣ + C½eì╣ + C¼eÄ╣
  12.  
  13. éS    è The LINEAR, HOMOGENEOUS, CONSTANT COEFFICIENT, THIRD ORDER
  14.     DIFFERENTIAL EQUATION can be written ï ê form
  15.         Ay»»» + By»» + Cy» + D = 0
  16.     where A, B, C å D are constants.
  17.     è As with ê correspondïg SECOND ORDER differential 
  18.     equation, an assumption is made that ê form ç ê solutions
  19.     is
  20.             y = e¡╣
  21.     Differentiatïg å substitutïg yields
  22.         (AmÄ + Bmì + Cm + D)e¡╣ = 0
  23.     As e¡╣ is never zero, it can be cancelled yieldïg ê
  24.     CHARACTERISTIC EQUATION
  25.         AmÄ + Bmì + Cm + D = 0
  26.  
  27.     èèEvery CUBIC EQUATION with real coefficients has at least
  28.     ONE REAL ROOT.èThe oêr two roots are eiêr
  29.         a)    BOTH REAL or
  30.         b)    a COMPLEX CONJUGATE PAIR
  31.  
  32.     èèIf all THREE ROOTS are REAL, êre are three subcases
  33.         a)    3 distïct roots, say l, m, n
  34.             The general solution is
  35.             C¬e╚╣ + C½e¡╣ + C¼eⁿ╣
  36.  
  37.         b)    2 repeated roots, say m, m, å one oêr root,
  38.             say n.èThe general solution is
  39.             C¬e¡╣ + C½xe¡╣ + C¼eⁿ╣
  40.  
  41.         c)    3 repeated roots, say m, m, m
  42.             The general solution is
  43.             C¬e¡╣ + C½xe¡╣ + C¼xìe¡╣
  44.  
  45.         As with ê second order, non-homogeneous differential
  46.     equation, solvïg a third order, NON-HOMOGENEOUS differential
  47.     equation is done ï two parts.
  48.  
  49.     1)    Solve ê HOMOGENEOUS differential equation for a 
  50.     GENERAL SOLUTION with THREE ARBITRARY CONSTANTS
  51.  
  52.     2)    Fïd ANY PARTICULAR SOLUTION ç ê NON-HOMOGENEOUS 
  53.     differential equation.èAs disucssed ï CHAPTER 4, êre are 
  54.     two maï techniques for fïdïg a particular solution.
  55.  
  56.         A)    METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS 
  57.         This technique is used when ê non-homogeneous 
  58.         term is
  59.             1)è A polynomial
  60.             2)è A real exponential
  61.             3)è A sïe or cosïe times a real exponential
  62.             4)è A lïear combïation ç ê above.    
  63.         This technique is explaïed ï à 4.3 å can be
  64.         for ANY ORDER differential equation.
  65.  
  66.         B)    METHOD OF VARIATION OF PARAMETERS
  67.         This technique is valid for an ARBITRARY NON-HOMOGEN-
  68.         EOUS TERM.èIt does require ê ability ë evaluate
  69.         N ïtegrals for an Nth order differential equaën.
  70.         As ê order ç ê differential equation ïcreses,
  71.         ê ïtegrals become messier ï general.èThe second
  72.         order version is discussed ï à 4.4.
  73.  
  74.  1èè    y»»» - 4y» = 0
  75.  
  76.     A)è     C¬ + C½e╣ + C¼eúÅ╣        
  77.     B)    C¬ + C½eúì╣ + C¼eì╣
  78.     C)è     C¬ + C½eú╣ + C¼eúÅ╣    
  79.     D)è     C¬ + C½e╣ + C¼eÅ╣
  80.  
  81. ü    èèFor ê differential equation
  82.         y»»» - 4y» = 0
  83.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  84.         mÄ - 4m = 0
  85.     This facërs ïë
  86.         m(mì - 4) = 0
  87.     å furêr ë
  88.         m(m - 2)(m + 2) = 0
  89.     This has ê solutions
  90.         m = -2, 0, 2
  91.     Thus ê general solution is
  92.         C¬ + C½eúì╣ + C¼eì╣
  93.  
  94. ÇèB
  95.  
  96.  2    y»»» + 4y»» + y» - 6y = 0
  97.  
  98.     A)è     C¬e╣ + C½ì╣ + C¼eÄ╣    
  99.     B)è    C¬e╣ + C½ì╣ + C¼eúÄ╣
  100.     C)è     C¬e╣ + C½úì╣ + C¼eúÄ╣    
  101.     D)è    C¬eú╣ + C½úì╣ + C¼eúÄ╣
  102.  
  103. ü    èèFor ê differential equation
  104.         y»»» + 4y»» + y» - 6y = 0
  105.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  106.         mÄ + 4mì + m - 6 = 0
  107.     This facërs ïë
  108.         (m - 1)(m + 2)(m + 3) = 0
  109.     This has ê solutions
  110.         m = -3, -2, 1
  111.     Thus ê general solution is
  112.         C¬e╣ + C½eúì╣ + C¼eúÄ╣
  113.  
  114. ÇèC
  115.  
  116. è3    y»»» + 5y»» - 2y» + 10y = 0
  117.  
  118.     A)è C¬eÉ╣ + C½eú╣ + C¼eì╣    
  119.     B)è C¬eúÉ╣ + C½e╣ + C¼eúì╣
  120.     C)è C¬eÉ╣ + C½eúá║ ╣ + C¼eáì ╣
  121.     D)è C¬eúÉ╣ + C½eúá║ ╣ + C¼eáì ╣
  122. ü    èèFor ê differential equation
  123.         y»»» + 5y»» - 2y» + 10y = 0
  124.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  125.         mÄ + 5mì - 2m + 10 = 0
  126.     This facërs ïë
  127.         (mì - 2)(m + 5) = 0
  128.     The first facër is IRREDUCIBLE over ê rationals but does
  129.     facër over ê irrationals ë
  130.         (m - √2)(m + √2)(m + 5) = 0
  131.     This has ê solutions
  132.         m =è-5,-√2, √2
  133.     Thus ê general solution is
  134.         C¬eúÉ╣ + C½eú√ì ╣ + C¼e√ì ╣
  135.  
  136. ÇèD
  137.  
  138.  4    6y»»» - 5y»» + y» = 0
  139.  
  140.     A)è     C¬ + C½eì╣ + C¼eÄ╣    è     
  141.     B)è     C¬ + C½eúì╣ + C¼eúÄ╣
  142.     C)è     C¬ + C½e╣»ì + C¼e╣»Ä    
  143.     D)è     C¬ + C½eú╣»ì + C¼eú╣»Ä
  144. ü    èèFor ê differential equation
  145.         6y»»» - 5y»» + y» = 0
  146.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  147.         6mÄ - 5mì + mè= 0
  148.     This facërs ïë
  149.         m(6mì - 5m + 1) = 0
  150.     å furêr ë
  151.         m(2m - 1)(3m - 1)
  152.     This has ê solutions
  153.         m = 0, 1/2, 1/3
  154.     Thus ê general solution is
  155.         C¬ + C½e╣»ì + C¼e╣»Ä
  156.  
  157. ÇèC
  158.  
  159. S 5    y»»» - 6y»» + 11y» - 6 = 0
  160.  
  161.     A)è     C¬e╣ + C½eì╣ + C¼eÄ╣    
  162.     B)è    C¬e╣ + C½eì╣ + C¼eúÄ╣
  163.     C)è     C¬e╣ + C½eúì╣ + C¼eúÄ╣    
  164.     D)è    C¬eú╣ + C½eúì╣ + C¼eúÄ╣
  165. ü    èèFor ê differential equation
  166.         y»»» - 6y»» + 11y» - 6y = 0
  167.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  168.         mÄ - 6mì + 11m - 6 = 0
  169.     This facërs ïë
  170.         (m - 1)(m - 2)(m - 3) = 0
  171.     This has ê solutions
  172.         m =è1, 2, 3
  173.     Thus ê general solution is
  174.         C¬e╣ + C½eì╣ + C¼eÄ╣
  175.  
  176. ÇèA
  177.  
  178.  6    y»»» - 7y»» + 16y» - 12y = 0
  179.  
  180.     A)    C¬eì╣ + C½xeì╣ + C¼eÄ╣
  181.     B)    C¬eì╣ + C½eúì╣ + C¼eÄ╣
  182.     C)    C¬eì╣ + C½eì╣ + C¼eúÄ╣
  183.     D)    C¬eì╣ + C½eúì╣ + C¼eúÄ╣
  184. ü    èèFor ê differential equation
  185.         y»»» - 7y»» + 16y» - 12y = 0
  186.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  187.         mÄ - 7mì + 16m - 12 = 0
  188.     This facërs ïë
  189.         (m - 2)(m - 2)(m - 3) = 0
  190.     or
  191.         (m - 2)ì(m - 3) = 0
  192.     This has ê solutions
  193.         m =è2, 2, 3
  194.     Thus ê general solution is
  195.         C¬eì╣ + C½xeì╣ + C¼eÄ╣
  196.  
  197. ÇèA
  198.  
  199.  7    12y»»» - 32y»» + 15y» + 9y = 0
  200.     
  201.     A)    C¬eÄ╣»ì + C½xeÄ╣»ì + C¼e╣»Ä
  202.     B)    C¬eÄ╣»ì + C½xeÄ╣»ì + C¼eú╣»Ä
  203.     C)    C¬eúÄ╣»ì + C½xeúÄ╣»ì + C¼e╣»Ä
  204.     D)    C¬eúÄ╣»ì + C½xeúÄ╣»ì + C¼eú╣»Ä
  205.  
  206. ü    èèFor ê differential equation
  207.         12y»»» - 32y»» + 15y» + 9y = 0
  208.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  209.         12mÄ - 32mì + 15m + 9 = 0
  210.     This facërs ïë
  211.         (2m - 3)(2m - 3)(3m + 1) = 0
  212.     or
  213.         (2m - 3)ì(3m + 1) = 0
  214.     This has ê solutions
  215.         m =è3/2, 3/2, -1/3
  216.     Thus ê general solution is
  217.         C¬eÄ╣»ì + C½xeÄ»ì╣ + C¼eú╣»Ä
  218.  
  219. ÇèB
  220.  
  221.  8è y»»» + 9 y»» + 27y» + 27y = 0
  222.  
  223.     A)    C¬e╣ + C½eÄ╣ + C¼eö╣
  224.     B)    C¬eú╣ + C½eúÄ╣ + C¼eúö╣    
  225.     C)    C¬eÄ╣ + C½eÄ╣ + C¼eÄ╣
  226.     D)    C¬eúÄ╣ + C½xeúÄ╣ + C¼xìeúÄ╣
  227.  
  228. ü    èèFor ê differential equation
  229.         y»»» + 9y»» + 27y» +27y = 0
  230.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  231.         mÄ + 9mì + 27m + 27 = 0
  232.     This facërs ïë
  233.         (m + 3)(m + 3)(m + 3) = 0
  234.     or
  235.         (m + 3)Ä = 0
  236.     This has ê solutions
  237.         m =è-3, -3, -3
  238.     Thus ê general solution is
  239.         C¬eúÄ╣ + C½xeúÄ╣ + C¼xìeúÄ╣
  240.  
  241. ÇèD
  242.  
  243. äèSolve ê ïitial value problem
  244.  
  245. â    è For ê Initial Value Problem, 
  246.         y»»» - 3y»» + 2y» = 0 
  247.         y(0) = 6, y»(0) = 4, y»»(0) = 10
  248.     The general solution isè C¬ + C½e╣ + C¼eì╣
  249.     Differentiatïg å substitutïg 0 for x produces a system ç
  250.     three equations ï ê three constants.èSolvïg this system 
  251.     gives ê solutionèè y = 5 - 2e╣ + 3eì╣
  252.  
  253. éSèèAs ê GENERAL SOLUTON ç a THIRD ORDER differential 
  254.     equation has THREE ARBITRARY CONSTANTS, for an Initial Value
  255.     Problem ë completely specify which member ç this three
  256.     parameter family ç curves requires INITAL VALUES.    
  257.     è The ståard ïitial values problem for a third order,
  258.     lïear, constant coefficient differential equation is
  259.         Ay»»» + By»» + Cy» + Dy = g(x)
  260.         èèèy(x╠) =è y╠
  261.         èè y»(x╠) =èy»╠
  262.         èèy»»(x╠) = y»»╠
  263.     èèAs with ê second order, ïital value problem, solvïg 
  264.     this problem is a 2 step process
  265.  
  266.     1)èèSolve ê differential equation ë produce a general
  267.     solution with three arbitrary constants.
  268.  
  269.     2)èèCalculate ê first å second derivatives ç ê general
  270.     solution.èThen substitue ê ïital value ç ïdependent
  271.     variable, x╠ , ïë ê general solution å its first two
  272.     derivatives.èThis will produce a system ç 3 equations ï
  273.     ê three arbitrary constants.èSolvïg this system gives ê
  274.     values ç ê three constants which gives ê specific 
  275.     solution ç ê ïitial value problem.
  276.     
  277.  9è     y»»» - 9y» = 0 
  278.         y(0) = 4èy»(0) = -12èy»»(0) = 18
  279.  
  280.     A)    2 + 3eúÄ╣ + e╣Ä╣
  281.     B)    2 + 3eúÄ╣ - eÄ╣
  282.     C)    2 - 3eúÄ╣ + e╣Ä╣
  283.     D)    -2 + 3eúÄ╣ + e╣Ä╣
  284.  
  285. ü    èèFor ê differential equation
  286.         y»»» - 9y» = 0
  287.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  288.         mÄ - 9m = 0
  289.     This facërs ïë
  290.         m(m - 3)(m + 3) = 0
  291.     This has ê solutions
  292.         m =è0, -3, 3
  293.     Thus ê general solution is
  294.         èy = C¬ + C½eúÄ╣ + C¼eÄ╣
  295.     Differentiatïg
  296.          y» = -3C½eúÄ╣ + 3C¼eÄ╣
  297.         y»» =è9C½eúÄ╣ + 9C¼eÄ╣
  298.     Substitutïg ê ïital value ç ê dependent variable 0
  299.         èy(0) =è 4 = C¬ +èC½ +èC¼
  300.          y»(0) = -12 =èè- 3C½ + 3C¼
  301.         y»»(0) =è18 =èèè9C½ + 9C¼
  302.     Sovlïg this system ç equations yields
  303.         C¬ = 2è C½ = 3èC¼ = -1
  304.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  305.         y = 2 + 3eúÄ╣ - eÄ╣
  306. ÇèB
  307.  
  308.  10    y»»» - 6y»» + 11y» - 6y = 0
  309.         y(0) = -3èy»(0) = -8èy»»(0) = -26
  310.  
  311.     A)    2e╣ + 3eì╣ + 4eÄ╣
  312.     B)    2e╣ - 3eì╣ + 4eÄ╣
  313.     C)    -2e╣ + 3eì╣ - 4eÄ╣
  314.     D)    -2e╣ - 3eì╣ - 4eÄ╣
  315.  
  316. ü    èèFor ê differential equation
  317.         y»»» - 6y»» + 11y» - 6y = 0
  318.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  319.         mÄ - 6mì + 11m -6 = 0
  320.     This facërs ïë
  321.         (m - 1)(m - 2)(m - 3) = 0
  322.     This has ê solutions
  323.         m =è1, 2, 3
  324.     Thus ê general solution is
  325.         èy = C¬e╣ + C½eì╣ + C¼eÄ╣
  326.     Differentiatïg
  327.          y» = C¬e╣ + 2C½eì╣ + 3C¼eÄ╣
  328.         y»» = C¬e╣ + 4C½eì╣ + 9C¼eÄ╣
  329.     Substitutïg ê ïital value ç ê dependent variable 0
  330.         èy(0) =è-3 = C¬ +èC½ +èC¼
  331.          y»(0) =è-8 = C¬ + 2C½ + 3C¼
  332.         y»»(0) = -26 = C¬ + 4C½ + 9C¼
  333.     Sovlïg this system ç equations yields
  334.         C¬ = -2è C½ = 3èC¼ = -4
  335.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  336.         y = -2e╣ + 3eì╣ - 4eÄ╣
  337. ÇèC
  338.  
  339.  
  340.  
  341.  
  342.  
  343.